先找分母，再看條件有沒有縮小範圍
機率題常常不是算不出來，是一開始把「全部是誰」抓錯。先圈樣本空間，再看題目有沒有加條件；如果給的是 P(X) 表，就改算期望值和變異數。
考前主線
4.1 抓樣本空間，4.2 換條件分母，4.4 用機率函數算 E(X) 和 Var(X)。
- 基本機率：有利結果數 ÷ 全部可能結果數。
- 條件機率：已知 B 後，分母改成 B。
- 機率函數：P(X) 加總要等於 1，再算特徵值。
不確定也可以算，但每一題的分母不一定相同
丟骰子、投籃、抽樣，每次結果都不一定一樣。可是只要知道全部可能、已知條件、還有每個 X 值的機率，就能把題目拆成可算的幾步。
先分清楚題目到底圈了哪一塊
| 樣本空間 | 所有可能結果。丟骰子就是 1, 2, 3, 4, 5, 6。 |
|---|---|
| 事件 | 我們關心的結果集合。偶數就是 2, 4, 6。 |
| 補事件 | A 沒有發生。命中率 0.3，沒命中率就是 0.7。 |
| 條件機率 | 已知 B 發生後，A 發生的機率。分母會從全部縮小成 B。 |
| 獨立事件 | 前一次結果不影響下一次結果，例如理想化的連續投籃。 |
| 機率函數 | 列出每個 X 值和對應的 P(X)，例如成功次數 0、1、2 各自的機率。 |
| 特徵值 | 期望值、變異數、標準差，幫你用幾個數字描述這個機率函數。 |
考前先把這三個起手式放熟
P(A) = 有利結果數 ÷ 所有可能結果數P(A) 念成「事件 A 發生的機率」。P(A 的補事件) = 1 − P(A)補事件就是 A 沒有發生，不用再重新猜一次。P(A|B) = P(A 且 B) ÷ P(B)已知 B 後，分母改成 B。P(A 且 B) = P(A) × P(B)這裡只用在 A 和 B 互相獨立的情況。E(X) = ΣxP(x)期望值是照機率加權後的長期平均。Var(X) = E(X²) − [E(X)]²變異數描述結果通常離期望值多遠。| 符號／概念 | 怎麼唸 | 做什麼用 | 為什麼用它 |
|---|---|---|---|
| P(A) | 唸「P，A」 | 事件 A 發生的機率。 | P 是機率（probability）的縮寫；括號裡放你關心的那個事件。 |
| ÷ | 唸「除」 | 有利結果數 ÷ 所有可能結果數。 | 機率就是「中意的占全部的比例」，所以是相除。 |
| 1 − P(A) | 唸「1 減 P A」 | A 沒有發生的機率，也就是補事件。 | 所有可能的機率加起來是 1，所以「沒發生」＝1 減「發生」，比一個個重算快。 |
| P(A|B) | 唸「B 條件下 A 的機率」 | 已知 B 發生後，A 發生的機率。 | 題目說「已知」「在某群人中」時，分母不再是全部，而是條件 B。 |
| P(A 且 B) | 唸「P，A 且 B」 | A 和 B 同時發生的機率。 | 「且」代表兩件事都要成立。 |
| × | 唸「乘」 | 把兩個機率相乘。 | 只有在 A、B 互相獨立（誰先誰後都不影響對方）時，同時發生才能直接相乘。 |
| P(X=x) | 唸「X 等於 x 的機率」 | 機率函數裡每個 X 值對應的機率。 | 4.4 會用這張表來算期望值、變異數和標準差。 |
| E(X) | 唸「X 的期望值」 | 長期平均會落在哪裡。 | 不是直接平均 X 值，而是每個 X 乘上自己的機率後加總。 |
| Var(X) | 唸「X 的變異數」 | 結果圍繞期望值的分散程度。 | 常用 E(X²) − [E(X)]² 來算，考卷上比較快。 |
先判斷題目是在問哪一種分母
- 列出全部可能結果。
- 圈出題目要的結果。
- 用「圈到幾個 ÷ 全部幾個」算機率。
- 如果問沒有發生，就用 1 減掉原本機率。
- 如果題目說「已知 B」，分母改成 B 裡面的結果。
- 如果問獨立事件都發生，先確認能不能用 P(A)×P(B)。
- 如果給的是 P(X) 表，就檢查機率加總，再算 E(X) 和 Var(X)。
看到「已知」，分母就被縮小了
全班 40 人，修統計 12 人，其中 9 人通過。題目問「已知他修統計，通過的機率」時，分母不是 40，而是修統計的 12 人，所以答案是 9/12。
P(通過 | 修統計) = P(通過且修統計) ÷ P(修統計) = (9/40) ÷ (12/40) = 9/12 = 0.75。
獨立事件的判斷也很直：知道 B 發生後，A 的機率如果沒有改變，就可以視為獨立。等價寫法是 P(A 且 B) = P(A)P(B)。
給你一張 P(X) 表時，不是把 X 直接平均
機率函數要先過兩個基本檢查：每個 P(X) 都在 0 到 1 之間，而且全部加起來等於 1。接著才用每個結果自己的機率去加權。
| X | P(X) | X × P(X) | X² × P(X) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.2 | 0 | 0 |
| 1 | 0.5 | 0.5 | 0.5 |
| 2 | 0.3 | 0.6 | 1.2 |
E(X)=1.1，E(X²)=1.7，Var(X)=1.7−1.1²=0.49，標準差=√0.49=0.7。
丟骰子出現偶數
偶數是 2、4、6，共 3 個結果。全部可能結果是 6 個，所以 P(偶數) = 3/6 = 0.5 = 50%。
右側會把被算進去的結果標出來
先看哪些點數被圈到，再看補事件、獨立事件和固定順序機率。這些會接到二項分配。
練分母、條件和機率函數怎麼判斷
4.1、4.2、4.4 常見問法
看到兩件事，不要反射性相加
問「A 或 B」才可能用加法；問「A 且 B」通常是在乘。這裡只處理考試需要的基本用法，不往聯合機率和邊際機率展開。
機率題先看關係，再選公式
補事件用 1 減掉原機率，獨立事件同時發生用乘法。固定順序機率是二項分配的前一半。