二項分配

二項分配最怕只算到一種順序

這章其實就卡一件事：0.3² × 0.7⁶ 只是一種排法，不是「剛好命中 2 次」的全部。考試很愛在這裡挖洞。

先記這句 固定順序只是一種排法；剛好成功 k 次要乘上 C(n,k)。

1. 這章在解決什麼問題

題目在問「固定做幾次後，剛好成功幾次」

命中率 0.3，投 8 次，剛好命中 2 次。成功位置不一定在前兩球，所以要把所有位置排法都算進來。

2. 題目特徵

五個條件有缺，就先不要硬套

固定做 n 次。
每次只有成功或失敗。
成功機率 p 固定。
每次互相獨立。
問剛好成功 k 次。

前置概念

二項分配前，先把這幾個小坑補起來

小數與百分比

30% 代公式時是 0.3，不是 30。最後要交卷時再轉成百分比。

補事件

失敗機率 q 不是題目另外給的東西。通常就是 1 - p。

次方

p^k 是成功連乘，(1−p)^n−k 是失敗連乘。先把次數對上。

組合數

C(n,k) 不是機率，是「成功位置有幾種」。少了它，答案通常會小很多。

3. 最小例題

命中率 0.3，罰球 8 次，剛好命中 2 次

先算一種順序，例如 SSFFFFFF：0.3² × 0.7⁶。題目沒說一定前兩球進，所以還要乘 C(8, 2)。

4. 公式與符號翻譯

公式其實是在補三件事

符號／概念	怎麼唸	做什麼用	為什麼用它
n	唸「n」	總共做幾次（試驗次數），例：投 8 次。	要先知道總共幾次，才知道成功可以排在哪些位置。
p	唸「p」，probability 的 p	每一次成功的機率，例：命中率 0.3。	二項分配要求每次成功機率都一樣，所以從頭到尾用同一個 p。
q（也寫成 1 − p）	唸「q」或「1 減 p」	每一次失敗的機率。	一次只有成功或失敗，兩個加起來是 1，所以失敗不用另外給，就是 1 − p。
k	唸「k」	你想問「剛好成功幾次」的那個次數。	它決定你要算的是 X 等於多少的機率。
X	唸「大 X」	「成功次數」這個會變的數（隨機變數）。	用一個字母代表「成功幾次」，才能把問題寫成 P(X = k)。
P(X = k)	唸「P，X 等於 k」	成功次數剛好等於 k 的機率。	P 是機率（probability）的縮寫；括號裡寫你關心的那種情況。
C(n, k)	唸「C，n、k」，組合數	n 個位置裡挑 k 個當成功位置，有幾種挑法。	固定順序只算一種排法，但題目沒指定第幾次成功，要把所有成功位置都算進來，所以乘上它。
p^k	唸「p 的 k 次方」	p 自己連乘 k 次。	成功 k 次、每次機率都是 p，連乘就是 p^k；上標只是「乘幾次」的簡寫。
(1−p)^n−k	唸「(1 減 p) 的 (n 減 k) 次方」	失敗 (n − k) 次的機率連乘。	做 n 次、成功 k 次，剩下的 n − k 次就是失敗。
×	唸「乘」	把幾個機率相乘。	獨立事件「同時都發生」，就是把各自的機率乘起來。

P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1−p)^n−k X 是成功次數。P(X = k) 就是成功次數剛好等於 k 的機率。

5. 分步計算

右側先算一種順序，再把排法補回來

只算 p^k × (1−p)^n−k，其實還沒算完。那只是其中一種成功位置。

6. 互動驗證

看分配圖，也看單一順序有多小

點擊成功位置，觀察固定順序機率

7-8. 題型辨識練習與錯題診斷

少乘 C(n,k)，這裡會直接抓出來

考卷型練習

練考題會怎麼把它包起來

9. 本章解題模板

考卷上看到這種題目，就照這個順序

確認固定做 n 次。
確認每次只有成功或失敗。
找成功機率 p。
找成功次數 k。
算 1 - p。
算固定順序機率 p^k × (1−p)^n−k。
算 C(n,k)，也就是成功位置有幾種。
全部相乘。
把小數答案轉成百分比。