常態分配

常態分配先不要把 Z 當答案

Z 只是位置，不是機率。先算這個分數離平均幾個標準差，再看題目要左邊、右邊，還是兩個數中間。

先記這句 Z 是位置；查表或算面積後，才會得到比例。
1. 這章在解決什麼問題

同一個 85 分，要看它站在什麼分布裡

平均 70、標準差 10 的 85 分，和平均 82、標準差 3 的 85 分，意思不一樣。Z 分數就是把位置統一到同一把尺。

2. 題目特徵

看到平均、標準差、求比例，先往常態想

  • 題目給平均數與標準差。
  • 問小於某數、大於某數或介於兩數之間的比例。
  • 需要把原始 X 轉成 Z 分數。
前置概念

常態分配前，先把面積方向弄清楚

平均數

μ 是曲線中心。X 比 μ 大就在右邊，比 μ 小就在左邊。

標準差

σ 是標準尺。Z 把「差幾分」換成「差幾個標準差」。

累積機率

Z 表多半給左側面積 P(Z < z)。考試常故意問右側或區間。

補面積與相減

大於某數用 1 減左側；介於兩數用右邊累積減左邊累積。

3. 最小例題

平均 70、標準差 10，X = 85

Z = (85 - 70) ÷ 10 = 1.5。意思是 85 分比平均數高 1.5 個標準差。

4. 公式與符號翻譯

公式先翻譯，不然很容易把 Z 當機率

符號／概念怎麼唸做什麼用為什麼用它
X唸「大 X」你手上的原始分數或數值，例：85 分。題目給的那個值，要先把它標準化才好比較。
μ唸「mu」（謬），希臘字母平均數，分布的中心。用 μ 專指「母體平均」，跟樣本平均 x̄ 分開，看到 μ 就知道在講整體。
σ唸「sigma」（西格瑪）標準差，分布的胖瘦。用 σ 專指母體標準差；它決定「一個標準差」有多長。
X − μ唸「X 減 mu」這個分數比平均高或低多少。先看跟中心差多少，正的在右邊、負的在左邊。
÷ σ唸「除以 sigma」把「差幾分」換算成「差幾個標準差」。除掉標準差後就沒有單位了，不管原本是分數還是身高都能查同一張表。
Z唸「大 Z」X 離平均幾個標準差，也就是標準化後的位置。每題的 μ、σ 都不同，先換成 Z 才能共用同一張標準常態表。
P(Z < z)唸「P，Z 小於 z」Z 落在某個值左邊的累積機率（曲線下面積）。表給的是左側面積；問「大於」或「介於」要再用相減加工。
Z = (X - μ) ÷ σ 白話：先看 X 跟平均差多少，再除以標準差，換成標準化位置。
5. 分步計算

右側會把 Z、左側累積和最後面積分開

同一個 Z，題目問小於、大於、介於，答案會不一樣。先看方向，再看面積。

6. 互動驗證

先看陰影，不要只盯著數字

7-8. 題型辨識練習與錯題診斷

右尾和區間題，很容易差最後一步

考卷型練習

練考題會怎麼問面積

9. 本章解題模板

考卷上看到常態題，就照這個順序

  1. 找 X、平均數 μ、標準差 σ。
  2. 用 Z = (X - μ) ÷ σ 算位置。
  3. 解讀 Z：離平均數幾個標準差，在左邊或右邊。
  4. 查左側累積機率 P(Z < z)。
  5. 小於某數：直接用左側面積。
  6. 大於某數：用 1 減左側面積。
  7. 介於兩數：用右邊累積機率減左邊累積機率。
  8. 把小數轉成百分比並寫白話結論。